{"created":"2023-06-19T12:42:51.257721+00:00","id":2111,"links":{},"metadata":{"_buckets":{"deposit":"ef81f477-c68e-41e6-857d-091e3f946c70"},"_deposit":{"created_by":3,"id":"2111","owners":[3],"pid":{"revision_id":0,"type":"depid","value":"2111"},"status":"published"},"_oai":{"id":"oai:tokyo-metro-u.repo.nii.ac.jp:00002111","sets":["465:468:469:854:1127"]},"author_link":["5941","5940","5942"],"item_2_alternative_title_19":{"attribute_name":"その他のタイトル","attribute_value_mlt":[{"subitem_alternative_title":"いくつかのポテンシャルによる平面領域の中心たちの一意性について"}]},"item_2_biblio_info_7":{"attribute_name":"書誌情報","attribute_value_mlt":[{"bibliographicIssueDates":{"bibliographicIssueDate":"2011-03-25","bibliographicIssueDateType":"Issued"},"bibliographic_titles":[{}]}]},"item_2_creator_2":{"attribute_name":"著者(ヨミ)","attribute_type":"creator","attribute_value_mlt":[{"creatorNames":[{"creatorName":"サカタ, シゲヒロ"}],"nameIdentifiers":[{"nameIdentifier":"5941","nameIdentifierScheme":"WEKO"}]}]},"item_2_creator_3":{"attribute_name":"著者別名","attribute_type":"creator","attribute_value_mlt":[{"creatorNames":[{"creatorName":"坂田, 繁洋"}],"nameIdentifiers":[{"nameIdentifier":"5942","nameIdentifierScheme":"WEKO"}]}]},"item_2_description_4":{"attribute_name":"抄録","attribute_value_mlt":[{"subitem_description":"We study two kinds of potentials with distance kernel obtained by a compact planar domain; one is a solid angle function of height h and the other is an r^<α-2>-potential. We give some sufficient conditions for the uniqueness of a point that attains the maximum or the minimum value of the potential.","subitem_description_type":"Abstract"},{"subitem_description":"1 問題意識とその定式化 2003年にPISAの出題した次の問題: 問題1.1(PISA)三角形の公園に街灯を1本だけ建てる。どこに建てればよいか? に対して、柴田勝征氏(福岡大学)は、公園全体の「明るさ」が最大になるような点を街灯のよい設置点と考え、そのような点を三角形の空間的灯心と定義した。定義1.2(柴田)高さ h>0 の街灯の光源(ξ,η,h)∈R^2 ×{h} が公園Ωを照らす明るさを次の積分で与える。∫_Ωh/((x-ξ)^2 + (y-η)^2 + h^2)^<3/2>dxdy. 上式を.A^<(h)>_Ω(ξ,η)とおく。今井淳氏(首都大学東京)の指摘のように、これは点(ξ,η,h)∈R^2×{h}から領域Ω⊂R^2を眺めた立体角と等しいことがわかる。以下、ΩはR^2のコンパクト領域として、h>0を1つ固定し、(ξ,η)∈R^2は、.A^<(h)>_Ωの変数、(x,y)∈Ωは積分の変数とする。また、記号の煩わしさを解消するためr=√<(x-ξ)^2 + (y-η)^2とおく。したがって、A^<(h)>_Ω(ξ,η)=∫_Ωh/(r^2-h^2)^<3/2>dxdyとかくことにする。定義1.3 関数.A^<(h)>_Ω: R^2→Rを最大にする点(ξ,η)を領域Ω の高さh>0の立体角による中心という。2 立体角による中心の一意性について A^<(h)>_Ω(ξ,η)は連続で、その被積分関数は、距離rの単調減少関数、さらに積分領域Ωはコンパクトである。よって、立体角による中心の存在性が従う。存在性の次に自然と問題になるのが一意性である。一般に、立体角による中心の一意性は成り立たない。例えば、2つの同じ半径の円板の和集合をΩとすれば、h>0が十分小さいときには、少なくとも2つの立体角による中心が存在する。このことから、次の問題を考える。問題2.1 立体角による中心が、一意に定まるための高さh>0または領域Ωの十分条件を与えよ。立体角による中心の一意性を示すには、、A^<(h)>_Ω(ξ,η)の任意の方向への2階微分が負であることを示せば良い。しかし、Ω全体では負にならないことが、数値実験からわかっている。そこで、立体角の中心が存在しうる領域を絞ることを考える。立体角による中心は直感的に「真ん申」周辺にあると思われる。この直感を正当化する。定義2.2(今井)v∈S^2に対して、vと直交する直線の族を考える。領域のv方向に関して上の端から順次、その直線に関して領域を折り返していく。この操作を、折り返した部分が領域からはみ出るようになるまで行う。はみ出ないように最大限折り返すとき、折り返されてくる側の半平面をW_vとする。Uf(Ω)=∩_<v∈S^2>W_vとおき、これをΩの折り返されない極小領域とよぶ。定理2.3 立体角による中心は、Uf(Ω)内に存在する。定現2.3を用いて、高さhまたは領域Ωに関して、立体角による申心の一意性が成り立つための十分条件を与えた。定理2.4 h≥2sup{|z-w|z∈Uf(Ω),w∈∂Ω}ならば、Ωの立体角による中心は一意である。定理2.5 Ωが凸線対称ならば、任意のh>0に対して、Ωの立体角による中心は一意である。ここで、「線対称」という仮定が付いているが、次のことが予想されている。予想2.6Ωが凸ならば、任意のh>0に対して、Ωの立体角による中心は一意である。この予想に対して、次の部分解が得られている。定理2.7 Ωが凸で、0<h≤√<2>inf{|z-w|z∈Uf(Ω),ω∈Ω}が成り立つならば、立体角による中心は一意である。3 γ^<α-2>ポテンシャルによる中心 定義3.1 (今井)実数α>0に対して、V^<(α)>_Ω(ξ,η)=｛^<∫_Ωγ^<α-2>dxdy (α≠2)>_<-∫_Ωlogγdxdy (α=2)>とおく。これを領域Ωのγ^<α-2>ポテンシャルという。また、関数V^<(α)>_Ω:R^2→Rを最大または最小にする点(ξ,η)を領域Ωのγ^<α-2>ポテンシャルによる中心という。注意3.2(1) V^<(α)>_Ω(ξ,η)は、0<α<2に対して、定義関数x_ΩのRieszポテンシャルである。(2)V^<(α)>_Ω(ξ,η)は、定義関数x_Ωの対数ポテンシャルである。(3)γ^2ポテンシャルによる中心は、Ωの重心である。よって、γ^<α-2>ポテンシャルによる中心たちは、Ωの重心の一般化ともいえる。γ^<α-2>ポテンシャルによる中心の問題意識は、立体角による中心のそれらと同様である。定理3.3(今井)γ^<α-2>ポテンシャルによる中心は、Uf(Ω)内に存在する。定理3.4(今井)(1)任意のα≥3に対して、Ωのγ^<α-2>ポテンシャルによる中心は一意である。(2)Ωが凸ならば、任意の0<α≤1に対して、Ωのγ^<α-2>ポテンシャルによる中心は一意である。定理3.5Ωが凸線対称ならば、任意の1<α<3に対して、Ωのγ^<α-2>ポテンシャルによる中心は一意である。定理3.5の領域には、「線対称」という仮定が付いているが、定理3.4は、1<α<3の場合を主張していないことに注意する。そして、次のことが予想されている。予想3.6Ωが凸ならば、任意のα>0に対して、Ω のγ^<α-2>ポテンシャルによる中心は一意である。4 優調和性 直接計算することでΔA^<(h)>_Ω(ξ,η)=3h∫_Ω3γ^2-2h^2/(γ^2+h^2)^<7/2>dxdyとなるから次の定理を得る。定理4.1 h≥√<6>/2diam(Ω)ならばA^<(h)>_Ω(ξ,η)はΩ上で優調和である。またGreenの定理よりΔA^<(h)>_Ω(ξ,η)=-3h∫_<∂Ω>(^<x-ξ>_<y-η>・n)/(γ^2+h^2)^<5/2>がわかる。よって、次の定理を得る。定理4.2Ωが凸ならば、A^<(h)>_Ω(ξ,η)はΩ上で優調和である。","subitem_description_type":"Abstract"}]},"item_2_description_5":{"attribute_name":"内容記述","attribute_value_mlt":[{"subitem_description":"首都大学東京, 2011-03-25, 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